La bande de Mobius, également appelée boucle, surface ou feuille, est un objet d'étude dans une discipline mathématique telle que la topologie, qui étudie les propriétés générales des figures qui sont conservées sous des transformations continues telles que la torsion, l'étirement, la compression, la flexion et d'autres non liées à la rupture de l'intégrité. … Une caractéristique étonnante et unique d'une telle bande est qu'elle n'a qu'un seul côté et un seul bord et n'a rien à voir avec son emplacement dans l'espace.
La bande de Mobius est topologique, c'est-à-dire un objet continu avec la surface unilatérale la plus simple avec une frontière dans l'espace euclidien ordinaire (3 dimensions), où il est possible à partir d'un point d'une telle surface, sans traverser le bord, d'arriver à un autre.
Qui l'a ouvert et quand?
Un objet aussi complexe que la bande de Mobius a été et a été découvert d'une manière assez inhabituelle. Tout d'abord, notons que deux mathématiciens, totalement indépendants l'un de l'autre dans leurs recherches, l'ont découvert au même moment - en 1858. Un autre fait intéressant est que ces deux scientifiques, à des époques différentes, étaient les élèves du même grand mathématicien - Johann Karl Friedrich Gauss. Ainsi, jusqu'en 1858, on croyait que toute surface devait avoir deux côtés. Cependant, Johann Benedict Listing et August Ferdinand Möbius ont découvert un objet géométrique qui n'avait qu'un seul côté et décrire ses propriétés. La bande a été nommée d'après Moebius, mais les topologues considèrent Listing et son travail "Preliminary Investigations in Topology" comme le père fondateur de la "géométrie du caoutchouc".
Propriétés
La bande Mobius a les propriétés suivantes qui ne changent pas lorsqu'elle est compressée, coupée ou froissée:
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1. Présence d'un côté. A. Mobius dans son ouvrage «Sur le volume des polyèdres» a décrit une surface géométrique, nommée d'après lui, qui n'a qu'un seul côté. Il est assez simple de vérifier ceci: nous prenons un ruban adhésif ou une bande Moebius et essayons de peindre la face intérieure avec une couleur et l'extérieur avec une autre. Peu importe dans quel endroit et dans quelle direction la peinture a été commencée, toute la forme sera peinte de la même couleur.
2. La continuité s'exprime dans le fait que n'importe quel point de cette figure géométrique peut être connecté à n'importe quel autre point de celle-ci sans franchir les limites de la surface de Mobius.
3. La connectivité, ou bidimensionnalité, signifie que lors de la coupe du ruban dans le sens de la longueur, plusieurs formes différentes ne sortiront pas de celui-ci, et il reste intégral.
4. Il lui manque une propriété aussi importante que l'orientation. Cela signifie qu'une personne marchant le long de cette figure retournera au début de son chemin, mais seulement dans une image miroir de lui-même. Ainsi, une bande de Moebius sans fin peut conduire à un voyage éternel.
5. Un nombre chromatique spécial indiquant le nombre maximum possible de régions sur la surface Mobius peut être créé afin que chacune d'elles ait une frontière commune avec toutes les autres. La bande Mobius a un numéro chromatique - 6, mais un anneau en papier - 5.
Utilisation scientifique
Aujourd'hui, la bande de Mobius et ses propriétés sont largement utilisées en science, servant de base à la construction de nouvelles hypothèses et théories, à la recherche et aux expériences, à la création de nouveaux mécanismes et dispositifs.
Donc, il existe une hypothèse selon laquelle l'Univers est une énorme boucle Mobius. Ceci est indirectement démontré par la théorie de la relativité d'Einstein, selon laquelle même un navire volant en ligne droite peut revenir au même point de temps et d'espace à partir duquel il est parti.
Une autre théorie considère l'ADN comme faisant partie de la surface de Mobius, ce qui explique la difficulté de lire et de déchiffrer le code génétique. Entre autres choses, une telle structure fournit une explication logique à la mort biologique - une spirale fermée sur elle-même conduit à l'autodestruction de l'objet.
Selon les physiciens, de nombreuses lois optiques sont basées sur les propriétés de la bande de Moebius. Ainsi, par exemple, une image miroir est un transfert de temps spécial et une personne voit son miroir doubler devant lui.
Mise en œuvre en pratique
La bande Mobius trouve une application dans diverses industries depuis longtemps. Le grand inventeur Nikola Tesla a inventé au début du siècle la résistance Mobius, constituée de deux surfaces conductrices torsadées vers 1800, qui peuvent résister au flux de courant électrique sans créer d'interférences électromagnétiques.
Sur la base d'études de la surface de la bande Mobius et de ses propriétés, de nombreux appareils et appareils ont été créés. Sa forme est répétée pour la création de bande transporteuse et de ruban encreur dans les imprimantes, de bandes abrasives pour les outils d'affûtage et de transfert automatique. Cela leur permet d'augmenter considérablement leur durée de vie, car l'usure est plus uniforme.
Il n'y a pas si longtemps, les caractéristiques étonnantes de la bande Mobius permettaient de créer un ressort qui, contrairement aux ressorts conventionnels qui fonctionnent dans le sens opposé, ne change pas le sens de fonctionnement. Il est utilisé dans le stabilisateur de l'entraînement du volant, fournissant un retour du volant à sa position d'origine.
En outre, la marque de bande Mobius est utilisée dans une variété de marques et de logos. Le plus célèbre d'entre eux est le symbole international du recyclage. Il est apposé sur les emballages de produits adaptés à un traitement ultérieur ou fabriqués à partir de ressources recyclées.
Une source d'inspiration créative
La bande Mobius et ses propriétés ont constitué la base du travail de nombreux artistes, écrivains, sculpteurs et cinéastes. L'artiste le plus célèbre qui a utilisé dans ses œuvres telles que "Mobius Tape II (Red Ants)", "Riders" et "Knots", la bande et ses caractéristiques - Maurits Cornelis Escher.
Les feuilles de Mobius, ou comme on les appelle aussi, les surfaces à énergie minimale, sont devenues une source d'inspiration pour les artistes mathématiques et sculpteurs tels que Brent Collins et Max Bill. Le monument le plus célèbre de la bande de Mobius est situé à l'entrée du musée d'histoire et de technologie de Washington.
Les artistes russes ne sont pas non plus restés à l'écart de ce sujet et ont créé leurs propres œuvres. Des sculptures «bande de Mobius» sont installées à Moscou et à Ekaterinbourg.
Littérature et topologie
Les propriétés inhabituelles des surfaces Moebius ont inspiré de nombreux écrivains à créer des œuvres fantastiques et surréalistes. La boucle Mobius joue un rôle important dans le roman "Doors in the Sand" de R. Zelazny et sert de moyen de déplacement dans l'espace et dans le temps pour le protagoniste du roman "Necroscope" de B. Lumley.
Il apparaît également dans les histoires «Le mur des ténèbres» d'Arthur Clarke, «Sur la bande de Mobius» de M. Clifton et «Mobius Leaf» d'A. J. Deutsch. Basé sur ce dernier, le film fantastique "Mobius" a été tourné par le réalisateur Gustavo Mosquera.
Nous le faisons nous-mêmes, de nos propres mains
Si vous êtes intéressé par la bande Mobius, une petite instruction vous dira comment fabriquer son modèle:
1. Pour fabriquer son modèle, vous aurez besoin de:
- une feuille de papier ordinaire;
- les ciseaux;
- règle.
2. Découpez une bande d'une feuille de papier pour que sa largeur soit 5 à 6 fois inférieure à sa longueur.
3. La bande de papier résultante est disposée sur une surface plane. Nous tenons une extrémité avec notre main et tournons l'autre à 1800 pour que la bande se tord et que le mauvais côté devienne le côté avant.
4. Collez les extrémités de la bande torsadée comme indiqué sur la figure.
La bande Mobius est prête.
5. Prenez un stylo ou un marqueur et commencez à dessiner une trace au milieu de la bande. Si vous avez tout fait correctement, vous reviendrez au même point à partir duquel vous avez commencé à dessiner la ligne.
Afin d'obtenir une confirmation visuelle que la bande Mobius est un objet unilatéral, essayez de peindre un côté de celui-ci avec un crayon ou un stylo. Après un certain temps, vous verrez que vous l'avez complètement peint.
