En décrivant les phénomènes quantiques, la théorie a jusqu'à présent dépassé l'expérience qu'il n'est pas possible de distinguer où la physique se termine et où les mathématiques commencent dans ce domaine. Le correspondant de RIA Novosti s'est entretenu avec les participants de l'école scientifique internationale tenue à l'Institut commun pour la recherche nucléaire (JINR) à Dubna sur les mathématiques nécessaires à la physique quantique et les problèmes résolus par les représentants des deux sciences les plus rigoureuses.
L'école «Sommes statistiques et formes automorphes» a attiré environ quatre-vingts jeunes chercheurs et enseignants du monde entier, dont Hermann Nicolai, directeur de l'Institut Albert Einstein (Allemagne).
Ses organisateurs du Laboratoire de symétrie du miroir et des formes automorphes de la Faculté de mathématiques de l'École supérieure d'économie soulignent que les principales écoles scientifiques sont devenues actives en Russie, représentant l'avant-garde de la recherche dans de nombreux domaines.
Le succès de nos mathématiciens est étroitement lié aux réalisations des physiciens théoriciens à la recherche de nouvelles manifestations de la physique quantique. C'est littéralement l'autre monde, dont l'existence est supposée en dehors de la réalité newtonienne et d'Einstein. Afin de décrire systématiquement le dépassement des lois de la physique classique, les scientifiques ont inventé la théorie des cordes dans les années 1970. Elle affirme que l'univers peut être jugé non pas en termes de particules ponctuelles, mais à l'aide de chaînes quantiques.
Les concepts «point», «ligne», «plan», familiers à chaque élève, s'estompent dans le monde quantique, les frontières disparaissent et la même théorie des cordes acquiert une structure interne très complexe. Pour comprendre ces objets inhabituels, il faut quelque chose de spécial. À savoir, la symétrie miroir, suggérée par les physiciens des cordes au début des années 1990. Ceci est un excellent exemple de la façon dont de nouvelles structures mathématiques émergent de l'intuition physique.
Dans le monde ordinaire, une telle symétrie apparaît, par exemple, lorsque nous voyons notre reflet dans un miroir. Dans le monde quantique, il s'agit d'une vision abstraite infiniment plus complexe qui explique comment deux théories d'apparence différente décrivent en fait un système de particules élémentaires à différents niveaux d'interaction dans un espace-temps multidimensionnel.
Le programme mathématique d'étude de l'effet découvert par les physiciens - l'hypothèse de la symétrie homologique du miroir - a été proposé en 1994 par le mathématicien Maxim Kontsevich. Quatre ans plus tard, il remporte le prix Fields, le prix Nobel du monde mathématique.
En Russie, la mathématicienne américaine d'origine bulgare Lyudmila Katsarkova, diplômée de la Faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université d'État Lomonosov de Moscou, a été invitée à développer la direction de la symétrie du miroir. Son projet et la création d'un laboratoire au HSE fin 2016 ont été soutenus par le gouvernement russe dans le cadre du programme de méga-subventions. Étant l'un des co-auteurs de Kontsevich, Katsarkov l'a attiré vers le travail.
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De l'intuition à la preuve
La plupart des professeurs de l'école travaillent dans ce domaine dynamique lié à la géométrie spatio-temporelle et aux théories du double champ et des cordes, contribuant directement ou indirectement à résoudre le puzzle du monde quantique. L'un des principaux objets de recherche pour eux est de très grands systèmes contenant un nombre infini de particules. Pour décrire ces systèmes en équilibre thermodynamique, les physiciens calculent des quantités appelées fonctions de partition.
La symétrie miroir des variétés, les fonctions de partition instantanée de Nekrasov et d'autres concepts introduits dans la théorie des cordes et la théorie quantique des champs se sont avérés être des objets complètement nouveaux pour les mathématiciens, qu'ils ont commencé à analyser avec intérêt. Il s'est avéré, par exemple, qu'il était pratique de décrire les sommes d'états en utilisant des formes automorphes - une classe spéciale de fonctions qui a longtemps été bien étudiée en théorie des nombres.
Les concepts «point», «ligne», «plan», familiers à chaque élève, s'estompent dans le monde quantique, les frontières disparaissent et la même théorie des cordes acquiert une structure interne très complexe. Pour comprendre ces objets inhabituels, il faut quelque chose de spécial. À savoir, la symétrie miroir, suggérée par les physiciens des cordes au début des années 1990. Ceci est un excellent exemple de la façon dont de nouvelles structures mathématiques émergent de l'intuition physique.
Dans le monde ordinaire, une telle symétrie apparaît, par exemple, lorsque nous voyons notre reflet dans un miroir. Dans le monde quantique, il s'agit d'une vision abstraite infiniment plus complexe qui explique comment deux théories d'apparence différente décrivent en fait un système de particules élémentaires à différents niveaux d'interaction dans un espace-temps multidimensionnel.
Le programme mathématique d'étude de l'effet découvert par les physiciens - l'hypothèse de la symétrie homologique du miroir - a été proposé en 1994 par le mathématicien Maxim Kontsevich. Quatre ans plus tard, il remporte le prix Fields, le prix Nobel du monde mathématique.
En Russie, la mathématicienne américaine d'origine bulgare Lyudmila Katsarkova, diplômée de la Faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université d'État Lomonosov de Moscou, a été invitée à développer la direction de la symétrie du miroir. Son projet et la création d'un laboratoire au HSE fin 2016 ont été soutenus par le gouvernement russe dans le cadre du programme de méga-subventions. Étant l'un des co-auteurs de Kontsevich, Katsarkov l'a attiré vers le travail.
De l'intuition à la preuve
La plupart des professeurs de l'école travaillent dans ce domaine dynamique lié à la géométrie spatio-temporelle et aux théories du double champ et des cordes, contribuant directement ou indirectement à résoudre le puzzle du monde quantique. L'un des principaux objets de recherche pour eux est de très grands systèmes contenant un nombre infini de particules. Pour décrire ces systèmes en équilibre thermodynamique, les physiciens calculent des quantités appelées fonctions de partition.
La symétrie miroir des variétés, les fonctions de partition instantanée de Nekrasov et d'autres concepts introduits dans la théorie des cordes et la théorie quantique des champs se sont avérés être des objets complètement nouveaux pour les mathématiciens, qu'ils ont commencé à analyser avec intérêt. Il s'est avéré, par exemple, qu'il était pratique de décrire les sommes d'états en utilisant des formes automorphes - une classe spéciale de fonctions qui a longtemps été bien étudiée en théorie des nombres.
L'idée de l'artiste de la symétrie du miroir. Illustration par RIA Novosti. Alina Polyanina
Il existe de nombreux exemples de l'effet inverse des mathématiques sur la physique théorique.
«Je travaillais à la création d'une théorie pour une nouvelle classe de fonctions spéciales appelées« intégrales hypergéométriques elliptiques ». Ensuite, il s'est avéré que ces objets sont demandés par les physiciens en tant que somme statistique d'un type particulier », explique le physicien mathématicien Vyacheslav Spiridonov du Laboratoire de physique théorique du JINR.
Spiridonov a introduit ses intégrales en 2000, et huit ans plus tard, deux physiciens de Cambridge sont arrivés aux mêmes intégrales, calculant des indices superconformaux (ou fonctions de partition supersymétriques) dans le cadre de la théorie de la dualité de Seiberg.
«Les indices superconformaux sont un concept très pratique pour décrire les dualités électromagnétiques, généralisant le phénomène qui s'est manifesté pour la première fois dans les équations de Maxwell (la présence de propriétés physiques mutuellement complémentaires dans un phénomène - N. D. E.). Avec l'aide de la théorie mathématique construite, nous avons prédit de nouvelles dualités que les physiciens ont ratées. Les physiciens expriment des idées, obtiennent des résultats préliminaires et les mathématiciens construisent une analyse absolue et systématique: ils donnent des définitions, formulent des théorèmes, prouvent, sans permettre aucune rupture dans la description du phénomène. Combien y en a-t-il d'autres? Qu'est-ce que les physiciens ont manqué? Les mathématiciens répondent à ces questions. Les physiciens s'intéressent à toute la variété des objets classés par les mathématiciens », explique Spiridonov.
À la recherche de la gravitation quantique et de la supersymétrie
«Je veux comprendre la nature de la gravité quantique et la physique des trous noirs, si la théorie des cordes est correcte pour décrire la nature. Telle est ma motivation. Pour ce faire, vous devez calculer les quantités physiques et les comparer avec l'expérience. Mais le fait est que ce sont des calculs très complexes, il y a beaucoup de problèmes mathématiques », explique Pierre Vanhove de l'Institut de physique théorique (Saclay, France), membre associé du laboratoire HSE.
Un physicien qui veut comprendre ce qui s'est passé avant le Big Bang, pour étudier la configuration d'un trou noir, est obligé de s'occuper de l'espace, qui est comprimé en un point, ce qui a pour conséquence de modifier considérablement sa géométrie. La théorie de la relativité ne peut pas expliquer ces objets, ainsi que d'autres phénomènes non classiques - matière noire, énergie noire. Les scientifiques jugent leur existence par des signes indirects, mais il n'a pas encore été possible de fixer les manifestations de la nouvelle physique dans une expérience, y compris les signes de gravité quantique - une théorie qui unirait la relativité générale et la mécanique quantique. Le physicien soviétique Matvey Bronstein remonte à ses origines au milieu des années 1930.
À propos, les scientifiques ont enregistré des ondes gravitationnelles classiques (du point de vue de la théorie d'Einstein) dans une expérience seulement en 2015. Pour ce faire, ils ont dû améliorer considérablement le détecteur LIGO. Pour avoir une idée de la nature quantique de la gravité, vous avez besoin d'une précision d'instrument encore plus grande, inaccessible au niveau actuel de développement technologique.
«Actuellement, les mesures LIGO ne donnent pas accès à cette nouvelle physique, il faut du temps pour y arriver. Probablement long. Nous devons inventer de nouvelles méthodes, des outils mathématiques. Auparavant, seuls des accélérateurs nous étaient disponibles pour rechercher une nouvelle physique, dont la plus puissante est le LHC, maintenant une autre voie est ouverte - l'étude des ondes gravitationnelles », explique Vankhov.
Pour expliquer les bizarreries du monde observé, par exemple, les scientifiques ont introduit l'hypothèse de la supersymétrie. Selon elle, les particules élémentaires que nous observons dans les expériences doivent avoir des jumeaux dans une zone «différente» de notre monde. L'une des manifestations attendues de ces jumeaux est que le plus clair d'entre eux forme de la matière noire, c'est-à-dire qu'il vit autour de nous, mais est inaccessible pour l'observation.
«Pour voir la supersymétrie, vous devez mieux comprendre la structure des particules, ce qui nécessite encore plus d'énergies d'accélérateur. Par exemple, si dans les collisions de protons, nous voyons la naissance de partenaires supersymétriques de particules ordinaires, alors ce que nous faisons existe vraiment. Pour le moment, au CERN, l'accélérateur heurte des particules à une énergie maximale, mais la supersymétrie n'a pas encore été découverte. La limite de sa manifestation - l'énergie de Planck - est hors de notre portée », déclare Ilmar Gahramanov, chef du département de physique mathématique de l'Université d'État des Beaux-Arts du nom de Mimar Sinan (Istanbul, Turquie), diplômé du MISiS.
Cependant, la supersymétrie doit exister, estime Gahramanov, puisque son idée même, ses mathématiques, est «très belle».
«Les formules sont simplifiées, certains problèmes disparaissent, de nombreux phénomènes peuvent être expliqués par cette théorie. Nous voulons croire qu'elle existe, car les idées de supersymétrie nous permettent d'obtenir des résultats intéressants pour d'autres théories testables expérimentalement. Autrement dit, les méthodes, la technologie, les mathématiques qui en découlent sont transférées à d'autres domaines », explique le scientifique.
Mathématiques pures
Un de ces domaines, qui se développe grâce aux problèmes formulés dans la théorie des cordes, est la théorie du moonshine.
"Moonshine" en anglais signifie somnambulisme et folie ", explique John Duncan de l'Université Emory (USA).
Pour plus de clarté, lors de son discours, il montre au public une photo de la lune rouge sang au-dessus de l'Acropole, prise lors de la super lune du 31 janvier. Duncan a fait ses études en Nouvelle-Zélande, puis est venu aux États-Unis pour poursuivre son doctorat. Ayant rencontré là-bas Igor Frenkel, un ancien mathématicien soviétique, a décidé de s'attaquer à la théorie de Munshine (traduite en russe par «théorie du non-sens»), qui construisait des ponts entre le «monstre» - le plus grand groupe fini exceptionnel de symétries - et d'autres objets mathématiques: formes automorphes, courbes algébriques et les algèbres des sommets.
«De la théorie des cordes sont venues des idées mathématiques très profondes qui ont changé la géométrie, la théorie des algèbres de Lie, la théorie des formes automorphes. Le concept philosophique a commencé à changer: qu'est-ce que l'espace, qu'est-ce que la diversité. De nouveaux types de géométries, de nouveaux invariants sont apparus. La physique théorique enrichit les mathématiques de nouvelles idées. Nous commençons à travailler dessus, puis nous les rendons aux physiciens. En fait, les mathématiques se reconstruisent maintenant, comme cela s'est déjà produit dans les années 20-30 du XXe siècle après le développement de la mécanique quantique, quand il est devenu clair qu'il existe d'autres structures en mathématiques qui n'avaient pas été vues auparavant », explique Valery Gritsenko, professeur à l'Université de Lille (France) et HSE.
Gritsenko est engagé dans les mathématiques pures, mais ses résultats sont demandés par les physiciens. L'une de ses plus grandes réalisations, obtenue conjointement avec le mathématicien Vyacheslav Nikulin, est la classification des Kats hyperboliques automorphes de dimension infinie - algèbres de Moody, qui a trouvé une application dans la théorie des cordes. C'est à la description d'une algèbre hyperbolique spéciale de Kats-Moody de type E10, qui prétend être l'unificateur de toutes les symétries physiques de la nature, qu'Herman Nicolai a consacré sa conférence.
Malgré l'absence de manifestations expérimentales de la théorie des cordes, de la supersymétrie, de la gravité quantique, les scientifiques non seulement n'écartent pas ces concepts, mais, au contraire, continuent de les développer activement. Alors "Pas un géomètre, qu'il ne rentre pas!" - la devise de l'Académie de Platon, formulée il y a deux millénaires et demi, est la plus pertinente à notre époque pour la physique théorique.
Tatiana Pichugina
