Que vous chronométriez pour vérifier à quelle vitesse vous pouvez remplir votre cafetière ou simplement compter vos pas jusqu'à l'arrêt de bus le matin, il y a quelque chose dans la monotonie de la vie quotidienne qui nous fait essayer d'en faire un jeu. Les habitants de la ville prussienne de Königsberg du XVIIIe siècle (maintenant, comme vous le savez, c'est Kaliningrad) étaient les mêmes que nous tous. C'est juste le jeu auquel ils ont joué avec sept ponts dans leur ville qui a un jour suscité l'intérêt de l'un des plus grands mathématiciens de l'histoire humaine.
Konigsberg a été construit sur les rives de la rivière Pregel (Pregolya), qui divisait la ville en quatre zones résidentielles distinctes. Les gens se déplaçaient d'une région à une autre par sept ponts différents. Selon la légende, un passe-temps populaire lors des promenades dominicales était d'essayer de traverser toute la ville pour ne traverser qu'une seule fois chaque pont. Personne n'a trouvé comment faire cela, mais cela ne signifie pas que le problème n'a pas de solution. Il leur suffisait de s'adresser au bon expert pour apprendre à le connaître.
En 1735, le maire de la ville de Dantzig (aujourd'hui Gdansk polonaise), située à 120 kilomètres à l'ouest de Königsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, écrivit à Leonard Euler avec une lettre dans laquelle il demanda de l'aide pour résoudre ce problème au nom d'un professeur local de mathématiques nommé Heinrich Kuehn. Même alors, Euler était un mathématicien célèbre et très prospère - il a publié son premier livre moins d'un an après cette lettre, et au cours de sa vie entière il a écrit plus de 500 livres et articles.
Par conséquent, il n'est pas surprenant qu'au début, Euler ait pensé qu'il était en dessous de sa dignité de traiter ce problème, et a écrit en réponse: «Donc, vous voyez, cher monsieur, ce type de solution n'a pratiquement aucun rapport avec les mathématiques, et je ne comprends pas pourquoi vous avez affaire à une telle solution. une demande adressée à un mathématicien et non à quelqu'un d'autre, car la décision est basée uniquement sur le bon sens et ne dépend d'aucun des principes mathématiques connus."
À la fin, cependant, Ehler et Kühn ont réussi à convaincre Euler, et il s'est rendu compte qu'il s'agissait d'un tout nouveau type de mathématiques - la "géométrie des positions", aujourd'hui connue sous le nom de topologie. En topologie, la forme ou l'emplacement exact d'un objet n'a pas d'importance. Il y a même une vieille blague qu'un topologue ne peut pas faire la différence entre un beignet et une tasse à café, car les deux articles ont exactement un trou. Jusque-là, ce domaine complètement nouveau des mathématiques était seulement écrit, mais personne ne comprenait encore les problèmes qu'il pouvait résoudre. Les sept ponts de Königsberg constituaient une excellente confirmation expérimentale de la nouvelle théorie, car le problème ne nécessitait aucune mesure ni aucun calcul précis. Vous pouvez transformer un plan de ville complexe en un graphique (diagramme) simple et compréhensible sans perdre aucune information importante.
Alors que l'on pourrait être tenté de résoudre ce problème en cartographiant tous les itinéraires possibles à travers la ville, Euler s'est immédiatement rendu compte que cette stratégie prendrait trop de temps et ne fonctionnerait pas avec d'autres problèmes similaires (et s'il y avait, disons, douze des ponts?). Au lieu de cela, il a décidé de se distraire temporairement des ponts et a marqué les zones terrestres avec les lettres A, B, C et D. Ainsi, il pouvait maintenant décrire le trajet à travers le pont de la zone A à la zone B comme AB, et le voyage de la zone A à la zone B. D comme ABD. Il est important de noter ici que le nombre de lettres dans la description de l'itinéraire sera toujours supérieur d'une unité au nombre de ponts traversés. Ainsi, l'itinéraire AB traverse un pont, et l'itinéraire ABD traverse deux ponts, et ainsi de suite. Euler s'est rendu compte que puisqu'il y a sept ponts à Königsberg, afin de tous les traverser,l'itinéraire doit être composé de huit lettres, ce qui signifie que la solution du problème nécessitera exactement huit lettres.
Puis il a proposé une règle plus générale utilisant un schéma encore plus simplifié. Si vous n'aviez que deux sections terrestres, A et B, et que vous traversiez le pont une fois, la section A pourrait être le point de départ ou de fin du voyage, mais vous ne seriez dans la section A qu'une seule fois. Si vous traversiez les ponts a, b et c une fois, vous seriez exactement deux fois sur la section A. Cela a conduit à une règle pratique: si vous avez un nombre pair de ponts menant à une parcelle de terrain, vous devez en ajouter un à ce nombre, puis diviser le total par deux pour déterminer combien de fois cette section doit être utilisée pendant votre voyage. (dans cet exemple, en ajoutant un au nombre de ponts, c'est-à-dire à 3, nous obtenons quatre, et en divisant quatre par deux, nous obtenons deux,c'est-à-dire que c'est exactement deux fois au cours du trajet que la section A) est franchie.
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Ce résultat ramena Euler à son problème d'origine. Il y a cinq ponts qui mènent à la section A, donc la solution de huit lettres qu'il recherche devra être franchie trois fois. Les sections B, C et D ont deux ponts qui y mènent, donc chacune doit se croiser deux fois. Mais 3 + 2 + 2 + 2 est 9, pas 8, bien que selon la condition, vous ne devez parcourir que 8 sections et traverser 7 ponts. Cela signifie qu'il est impossible de traverser toute la ville de Königsberg en utilisant chaque pont exactement une fois. En d'autres termes, dans ce cas, le problème n'a pas de solution.
Cependant, comme tout vrai mathématicien, Euler ne s'est pas arrêté là. Il a continué à travailler et a créé une règle plus générale pour d'autres villes avec un nombre différent de ponts. Si la ville a un nombre impair de ponts, il existe un moyen simple de savoir si vous pouvez faire un tel voyage ou non: si la somme du nombre d'occurrences de chaque lettre désignant un terrain est un de plus que le nombre de ponts (comme, par exemple, dans la solution à huit lettres, environ mentionné précédemment), un tel voyage est possible. Si la somme est supérieure à ce nombre, c'est impossible.
Et un nombre pair de ponts? Dans ce cas, tout dépend de l'endroit où commencer. Si vous commencez à la section A et que vous traversez deux ponts, A apparaît deux fois dans votre solution. Si vous commencez de l'autre côté, A n'apparaîtra qu'une seule fois. S'il y a quatre ponts, alors A apparaît trois fois si cette section était le point de départ, ou deux fois si ce n'était pas le cas. De manière générale, cela signifie que si le trajet ne part pas du tronçon A, il doit être traversé deux fois plus que le nombre de ponts (quatre divisé par deux donne deux). Si le trajet commence à partir de la section A, il doit se croiser une fois de plus.
Le génie de la solution d'Euler ne réside même pas dans la réponse, mais dans la méthode qu'il a appliquée. C'était l'un des premiers cas d'utilisation de la théorie des graphes, également connue sous le nom de théorie des réseaux, un domaine très recherché des mathématiques dans le monde d'aujourd'hui, rempli de réseaux de transport, sociaux et électroniques. Quant à Königsberg, la ville s'est retrouvée avec un autre pont, ce qui a rendu la décision d'Euler controversée, puis les forces britanniques ont détruit la majeure partie de la ville pendant la Seconde Guerre mondiale. Aujourd'hui, la ville et le fleuve ont tous deux de nouveaux noms, mais l'ancien problème réside dans un tout nouveau domaine des mathématiques.
Igor Abramov
